Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Halle $a > 0$ y $b > 0$ sabiendo que la gráfica de la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \dfrac{bx^{2}}{1 + ax^{4}}$ tiene en el punto $(1, 2)$ un punto crítico. [2,5 puntos]

$\textbf{Halle } \boldsymbol{a > 0}\textbf{ y } \boldsymbol{b > 0}\textbf{ sabiendo que la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{bx^{2}}{1 + ax^{4}}}\textbf{ tiene en el punto } \boldsymbol{(1, 2)}\textbf{ un punto crítico. [2,5 puntos]}$

Que $(1,2)$ sea un punto crítico de la gráfica significa dos cosas: que la curva pasa por él y que la derivada se anula ahí. Cada condición da una ecuación.

De la primera:

$f(1)=\dfrac{b}{1+a}=2\Rightarrow b=2\left(1+a\right)$

Derivamos con la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{2bx\left(1+ax^{4}\right)-bx^{2}\cdot4ax^{3}}{\left(1+ax^{4}\right)^{2}}$

$=\dfrac{2bx+2abx^{5}-4abx^{5}}{\left(1+ax^{4}\right)^{2}}=\dfrac{2bx\left(1-ax^{4}\right)}{\left(1+ax^{4}\right)^{2}}$

Imponemos la segunda condición:

$f'(1)=\dfrac{2b\left(1-a\right)}{\left(1+a\right)^{2}}=0$

Una fracción se anula cuando lo hace su numerador. Como el enunciado exige $b>0$, se descarta $b=0$ y queda:

$1-a=0\Rightarrow a=1$

$b=2\left(1+1\right)=4$

Ambos valores cumplen la restricción de ser positivos. Comprobamos el resultado en $f(x)=\dfrac{4x^{2}}{1+x^{4}}$: efectivamente $f(1)=\dfrac{4}{2}=2$ y $f'(1)=0$.

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=4$.