Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

La recta $r \equiv \dfrac{x + 3}{2} = \dfrac{y + 4}{2} = \dfrac{z - 3}{3}$ y la recta $s$, que pasa por los puntos $P(1, 0, 2)$ y $Q(a, 1, 0)$, se cortan en un punto. Calcule el valor de $a$ y el punto de corte. [2,5 puntos]

$\textbf{La recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{s}\textbf{, que pasa por los puntos } \boldsymbol{P(1, 0, 2)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q(a, 1, 0)}\textbf{, se cortan en un punto. Calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ y el punto de corte. [2,5 puntos]}$

Leemos de la ecuación continua de $r$ un punto y su vector director, y obtenemos el de $s$ restando los dos puntos que la definen.

$r:\ R(-3,-4,3),\ \vec v_r=(2,2,3)$

$\vec v_s=\overrightarrow{PQ}=(a,1,0)-(1,0,2)=(a-1,1,-2)$

Que las dos rectas se corten equivale a que sean coplanarias, es decir, a que el producto mixto de los dos directores y del vector que une un punto de cada una se anule.

$\overrightarrow{RP}=(1,0,2)-(-3,-4,3)=(4,4,-1)$

$\begin{vmatrix}4 & 4 & -1\\ 2 & 2 & 3\\ a-1 & 1 & -2\end{vmatrix}=14a-28$

$14a-28=0\Rightarrow a=2$

Con ese valor, $\vec v_s=(1,1,-2)$, que no es proporcional a $\vec v_r$, luego las rectas se cortan de verdad y no son paralelas. Para hallar el punto igualamos las paramétricas de ambas:

$\begin{cases}-3+2t=1+\mu\\ -4+2t=\mu\\ 3+3t=2-2\mu\end{cases}$

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera se obtiene una identidad, así que usamos la tercera:

$3+3t=2-2\left(2t-4\right)=10-4t\Rightarrow 7t=7\Rightarrow t=1$

$x=-3+2=-1;\qquad y=-4+2=-2;\qquad z=3+3=6$

Comprobamos el punto en $s$, con $\mu=2\cdot1-4=-2$: $(1-2,\,-2,\,2+4)=(-1,-2,6)$.

Las rectas se cortan cuando $a=2$, y lo hacen en el punto $(-1,-2,6)$.