Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere las rectas

$r \equiv \begin{cases} 2x - 3y + z - 2 = 0 \\ -3x + 2y + 2z + 1 = 0 \end{cases}$ y $s \equiv \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}$

a) Calcule el plano perpendicular a la recta $s$ que pasa por el punto $P(1, 0, -5)$. [1,5 puntos]

b) Calcule el seno del ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi \equiv -2x + y + 2z = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el plano perpendicular a la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{P(1, 0, -5)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta es un vector normal del plano. Lo leemos de las ecuaciones paramétricas de $s$.

$\vec v_s=(-2,1,2)$

$\pi: -2x+y+2z+D=0$

Imponemos que el plano pase por $P$:

$-2\cdot1+0+2\cdot(-5)+D=0\Rightarrow -12+D=0\Rightarrow D=12$

El plano perpendicular a $s$ que pasa por $P$ es $-2x+y+2z+12=0$.

$\textbf{b) Calcule el seno del ángulo que forma la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ con el plano } \boldsymbol{\pi \equiv -2x + y + 2z = 0}\textbf{. [1 punto]}$











El ángulo que una recta forma con un plano es el complementario del que forma con su vector normal, y por eso el seno del primero es el coseno del segundo. Necesitamos, pues, un vector director de $r$, que se obtiene como producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen.

$\vec v_r=(2,-3,1)\times(-3,2,2)=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -3 & 1\\ -3 & 2 & 2\end{vmatrix}$





$\vec v_r=(-8,-7,-5)$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec n_{\pi}\right|}$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=(-8)(-2)+(-7)(1)+(-5)(2)=16-7-10=-1$

$\left|\vec v_r\right|=\sqrt{64+49+25}=\sqrt{138};\qquad \left|\vec n_{\pi}\right|=\sqrt{4+1+4}=3$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{1}{3\sqrt{138}}$

El seno del ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$ vale $\dfrac{1}{3\sqrt{138}}\approx0{,}0284$, de modo que la recta es casi paralela al plano.