Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

$\begin{cases} mx + 2y - z = 1 \\ 5x - 4y + 2z = 0 \\ x + 3my = m + \frac{2}{5} \end{cases}$

a) Discuta el sistema según los valores de $m$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para $m = 0$. ¿Hay alguna solución en la que $x = 0$? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema según los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos anulando el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollándolo por la tercera fila, que tiene un cero.

$A=\begin{pmatrix}m & 2 & -1\\ 5 & -4 & 2\\ 1 & 3m & 0\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}m & 2 & -1 & 1\\ 5 & -4 & 2 & 0\\ 1 & 3m & 0 & m+\frac{2}{5}\end{array}\right)$

$|A|=m\left(0-6m\right)-2\left(0-2\right)-\left(15m+4\right)=-6m^{2}-15m$

$-3m\left(2m+5\right)=0\Rightarrow \begin{cases}m=0\\ m=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$

Si $m\neq0$ y $m\neq-\frac{5}{2}$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Si $m=0$, el menor $\begin{vmatrix}0 & 2\\ 5 & -4\end{vmatrix}=-10\neq0$ da $\operatorname{ran}(A)=2$. Orlamos con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}0 & 2 & 1\\ 5 & -4 & 0\\ 1 & 0 & \frac{2}{5}\end{vmatrix}=0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado.

Si $m=-\frac{5}{2}$, la segunda fila es la primera multiplicada por $-2$ en la matriz de coeficientes, pero no en el término independiente, pues $-2\cdot1=-2\neq0$. El menor $\begin{vmatrix}-\frac{5}{2} & 2\\ 1 & -\frac{15}{2}\end{vmatrix}=\frac{67}{4}\neq0$ da $\operatorname{ran}(A)=2$, y el orlado con los términos independientes vale $\frac{67}{2}\neq0$, luego $\operatorname{ran}(A^{*})=3$ y el sistema es incompatible.

El sistema es compatible determinado para $m\neq0,-\frac{5}{2}$; compatible indeterminado para $m=0$, e incompatible para $m=-\frac{5}{2}$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{m = 0}\textbf{. ¿Hay alguna solución en la que } \boldsymbol{x = 0}\textbf{? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1 punto]}$

Para $m=0$ el sistema queda

$\begin{cases}2y-z=1\\ 5x-4y+2z=0\\ x=\dfrac{2}{5}\end{cases}$

La tercera ecuación fija $x$ directamente. Sustituyéndola en la segunda:

$5\cdot\dfrac{2}{5}-4y+2z=0\Rightarrow 2-4y+2z=0\Rightarrow 2y-z=1$

que es la primera ecuación, lo que confirma el grado de libertad. Tomamos $z$ como parámetro:

$z=\lambda\Rightarrow y=\dfrac{1+\lambda}{2}$

$(x,y,z)=\left(\dfrac{2}{5},\;\dfrac{1+\lambda}{2},\;\lambda\right),\quad \lambda\in\mathbb{R}$

La respuesta a la segunda pregunta se lee de la propia solución: la primera coordenada vale $\frac{2}{5}$ para todo $\lambda$, porque la tercera ecuación la impone sin dejar libertad.

El sistema tiene infinitas soluciones, y en ninguna de ellas es $x=0$: la tercera ecuación obliga a $x=\dfrac{2}{5}$.