Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $F : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por

$F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \left(2t + \sqrt{t}\right) dt.$

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = 1$. [2,5 puntos]

$\textbf{Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{F}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Para escribir la tangente necesitamos dos números: $F(1)$ y $F'(1)$. La derivada la da el teorema fundamental del cálculo sin necesidad de integrar, porque el integrando es continuo en $[0,+\infty)$.

$F'(x)=2x+\sqrt{x}\Rightarrow F'(1)=2+1=3$

Para el valor de la función sí hay que integrar, y la integral es inmediata:

$F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\left(2t+\sqrt{t}\right)dt=\left[t^{2}+\dfrac{2}{3}t^{3/2}\right]_{0}^{x}=x^{2}+\dfrac{2}{3}x^{3/2}$

$F(1)=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$

Comprobamos, derivando esta expresión, que se recupera el integrando:

$F'(x)=2x+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}x^{1/2}=2x+\sqrt{x}$

Escribimos por último la ecuación punto-pendiente en $\left(1,\frac{5}{3}\right)$:

$y-\dfrac{5}{3}=3\left(x-1\right)$

$y=3x-3+\dfrac{5}{3}$

La recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x=1$ es $y=3x-\dfrac{4}{3}$.