Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 4x^{3} - x^{4}$.

a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1 punto]

b) Esboce la gráfica de $f$ y calcule el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de } \boldsymbol{f}\textbf{. [1 punto]}$

La función es polinómica, luego derivable en todo $\mathbb{R}$. La monotonía la da el signo de la derivada primera, que factorizamos para leerlo de un vistazo.

$f'(x)=12x^{2}-4x^{3}=4x^{2}\left(3-x\right)$

$4x^{2}\left(3-x\right)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0\ \text{(doble)}\\ x=3\end{cases}$

El factor $4x^{2}$ es positivo salvo en $x=0$, donde se anula sin cambiar de signo, de modo que el signo de la derivada lo decide únicamente $3-x$:

$f'(-1)=4\cdot4=16>0;\qquad f'(1)=4\cdot2=8>0;\qquad f'(4)=64\cdot(-1)<0$

La función es creciente en $\left(-\infty,3\right)$ y decreciente en $\left(3,+\infty\right)$. En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, así que ahí no hay extremo, sino un punto de inflexión con tangente horizontal. En $x=3$ sí hay un máximo, de valor $f(3)=108-81=27$.

$\textbf{b) Esboce la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ y calcule el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas. [1,5 puntos]}$

Localizamos los cortes con el eje de abscisas sacando factor común:

$4x^{3}-x^{4}=x^{3}\left(4-x\right)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0\ \text{(triple)}\\ x=4\end{cases}$

Entre esas dos abscisas la función es positiva, como se comprueba en $x=2$, donde vale $32-16=16$. Con el máximo y el punto de inflexión del apartado anterior, la gráfica y el recinto son:



Al ser $f$ positiva en todo el recinto, el área es la integral sin valor absoluto:

$\mathcal{A}=\int_{0}^{4}\left(4x^{3}-x^{4}\right)dx=\left[x^{4}-\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{4}$

$=256-\dfrac{1024}{5}=\dfrac{1280-1024}{5}=\dfrac{256}{5}$

El área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas es de $\dfrac{256}{5}=51{,}2$ unidades de área.