Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función continua $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

$f(x) = \begin{cases} (3x - 6)e^{x} & \text{si } x \leq 0 \\[2ex] \dfrac{36(\operatorname{sen}(x) - ax)}{x^{3}} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

a) Calcule $a$. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Cada rama es continua en el interior de su intervalo, así que la única condición que impone el enunciado es la continuidad en $x=0$, donde cambia la definición. El valor de la función lo da la primera rama.

$f(0)=\left(3\cdot0-6\right)e^{0}=-6$

El límite por la derecha presenta la indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital:

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{36\left(\operatorname{sen}(x)-ax\right)}{x^{3}}=\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{36\left(\cos(x)-a\right)}{3x^{2}}$

El denominador tiende a $0$, así que el límite solo puede ser finito si el numerador también lo hace:

$36\left(\cos(0)-a\right)=36\left(1-a\right)=0\Rightarrow a=1$

Con ese valor seguimos aplicando L'Hôpital hasta deshacer la indeterminación:

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{36\left(\cos(x)-1\right)}{3x^{2}}=\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{-36\operatorname{sen}(x)}{6x}=\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{-36\cos(x)}{6}=-6$

El límite por la derecha coincide con $f(0)$, luego la función es continua.

El valor pedido es $a=1$.

$\textbf{b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = -1}\textbf{. [1 punto]}$

La abscisa $x=-1$ cae en la primera rama, así que derivamos $(3x-6)e^{x}$ con la regla del producto.

$f'(x)=3e^{x}+\left(3x-6\right)e^{x}=e^{x}\left(3x-3\right)$

Evaluamos la función y su derivada en el punto:

$f(-1)=\left(-3-6\right)e^{-1}=-\dfrac{9}{e}$

$f'(-1)=e^{-1}\left(-3-3\right)=-\dfrac{6}{e}$

Escribimos la ecuación punto-pendiente:

$y+\dfrac{9}{e}=-\dfrac{6}{e}\left(x+1\right)$

$y=-\dfrac{6x}{e}-\dfrac{6}{e}-\dfrac{9}{e}$

La recta tangente en $x=-1$ es $y=-\dfrac{6x+15}{e}$.