Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Se sabe que la gráfica de la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{ax^{2} + bx + 2}{x - 1}$ (para $x \neq 1$) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(1, 1)$ y tiene pendiente 2. Calcule $a$ y $b$. [2,5 puntos]

$\textbf{Se sabe que la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ definida por } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{ax^{2} + bx + 2}{x - 1}}\textbf{ (para } \boldsymbol{x \neq 1}\textbf{) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto } \boldsymbol{(1, 1)}\textbf{ y tiene pendiente 2. Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Los dos datos del enunciado determinan por completo la asíntota, así que empezamos escribiéndola. Con pendiente $2$ y pasando por $(1,1)$:

$y=2x+n;\qquad 1=2\cdot1+n\Rightarrow n=-1$

$y=2x-1$

Calculamos ahora la asíntota oblicua de $f$ en función de los parámetros y la identificamos con esa recta. La pendiente es:

$m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{ax^{2}+bx+2}{x^{2}-x}=a$

$a=2$

Con ese valor calculamos la ordenada en el origen de la asíntota:

$n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x^{2}+bx+2}{x-1}-2x\right)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^{2}+bx+2-2x^{2}+2x}{x-1}$

$=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{(b+2)x+2}{x-1}=b+2$

Igualamos a la ordenada de la recta dada:

$b+2=-1\Rightarrow b=-3$

Comprobamos el resultado efectuando la división con esos valores:

$\dfrac{2x^{2}-3x+2}{x-1}=2x-1+\dfrac{1}{x-1}$

El resto tiende a cero en el infinito, luego la asíntota oblicua es efectivamente $y=2x-1$, que pasa por $(1,1)$ y tiene pendiente $2$.

Los valores pedidos son $a=2$ y $b=-3$.