Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sean el plano $\pi \equiv x + y - z = 2$ y la recta $r \equiv x = \dfrac{y}{3} = z - 1$.

a) Calcule, si existe, el punto de intersección de $\pi$ y $r$. [0,75 puntos]

b) Dado el punto $Q(2, 6, 3)$, halle su simétrico respecto del plano $\pi$. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule, si existe, el punto de intersección de } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y } \boldsymbol{r}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Pasamos la recta a paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano; si la ecuación resultante tiene solución única, ese es el punto buscado.

$r:\ R(0,0,1),\ \vec v_r=(1,3,1)\Rightarrow \begin{cases}x=t\\ y=3t\\ z=1+t\end{cases}$

$t+3t-\left(1+t\right)=2\Rightarrow 3t=3\Rightarrow t=1$

Al salir un único valor de $t$, la recta corta al plano en un solo punto:

$x=1;\qquad y=3;\qquad z=2$

La recta y el plano se cortan en el punto $(1,3,2)$.

$\textbf{b) Dado el punto } \boldsymbol{Q(2, 6, 3)}\textbf{, halle su simétrico respecto del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,75 puntos]}$











El simétrico se obtiene en tres fases: i) se traza la recta perpendicular al plano por $Q$, cuyo director es el normal de $\pi$; ii) se corta con el plano para hallar el pie $M$; iii) se impone que $M$ sea el punto medio de $\overline{QQ'}$.

$\vec n_{\pi}=(1,1,-1)$

$s:\begin{cases}x=2+t\\ y=6+t\\ z=3-t\end{cases}$





ii) Sustituimos en la ecuación del plano:

$\left(2+t\right)+\left(6+t\right)-\left(3-t\right)=2\Rightarrow 3t+5=2\Rightarrow t=-1$

$M(1,5,4)$

iii) Llamando $Q'(a,b,c)$ al simétrico, el punto medio de $\overline{QQ'}$ ha de ser $M$:

$\dfrac{a+2}{2}=1;\qquad \dfrac{b+6}{2}=5;\qquad \dfrac{c+3}{2}=4$

$a=0;\qquad b=4;\qquad c=5$

Comprobamos que $M$ pertenece efectivamente al plano: $1+5-4=2$.

El simétrico de $Q$ respecto del plano $\pi$ es el punto $Q'(0,4,5)$.