Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Considere las rectas $r \equiv x + 1 = y - a = -z$ y $s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$

a) Calcule $a$ para que $r$ y $s$ se corten. Determine dicho punto de corte. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que pasa por $P(8, -7, 2)$ y que contiene a la recta $s$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{ se corten. Determine dicho punto de corte. [1,5 puntos]}$

Leemos de la ecuación continua de $r$ un punto y su director, y de las paramétricas de $s$ los suyos.

$r:\ R(-1,a,0),\ \vec v_r=(1,1,-1);\qquad s:\ S(5,-3,2),\ \vec v_s=(2,0,-1)$

Dos rectas se cortan cuando son coplanarias y no paralelas. La coplanariedad se traduce en que el producto mixto de los dos directores y del vector que une un punto de cada una sea nulo.

$\overrightarrow{RS}=(5,-3,2)-(-1,a,0)=(6,-3-a,2)$

$\begin{vmatrix}6 & -3-a & 2\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & -1\end{vmatrix}=a-7$

$a-7=0\Rightarrow a=7$

Los directores no son proporcionales para ningún valor de $a$, pues $\vec v_r$ y $\vec v_s$ son fijos, así que las rectas se cortan de verdad. Para hallar el punto igualamos las coordenadas de ambas rectas con $a=7$:

$\begin{cases}-1+t=5+2\lambda\\ 7+t=-3\\ -t=2-\lambda\end{cases}$

La segunda ecuación da $t=-10$, y de la tercera $\lambda=-8$. Comprobamos en la primera, que aún no se ha usado: $-1-10=5-16$.

$x=-1-10=-11;\qquad y=7-10=-3;\qquad z=10$

Las rectas se cortan cuando $a=7$, y lo hacen en el punto $(-11,-3,10)$.

$\textbf{b) Halle la ecuación del plano que pasa por } \boldsymbol{P(8, -7, 2)}\textbf{ y que contiene a la recta } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

El plano queda determinado por un punto de $s$ y dos direcciones: la de la propia recta y la que une ese punto con $P$. Un vector normal es el producto vectorial de ambas.

$\overrightarrow{SP}=(8,-7,2)-(5,-3,2)=(3,-4,0)$

$\vec n=\vec v_s\times\overrightarrow{SP}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 0 & -1\\ 3 & -4 & 0\end{vmatrix}=(-4,-3,-8)$

$\pi: -4x-3y-8z+D=0$

Imponemos que pase por $S(5,-3,2)$:

$-20+9-16+D=0\Rightarrow D=27$

Comprobamos que $P$ también lo cumple: $-32+21-16+27=0$.

El plano pedido es $4x+3y+8z-27=0$.