Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Considere las funciones $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = x^{3} + 2$ y $g(x) = -x^{2} + 2x + 2$.

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Esboce sus gráficas. [1,25 puntos]

b) Determine el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$ en el primer cuadrante. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{. Esboce sus gráficas. [1,25 puntos]}$

Igualamos las dos expresiones y resolvemos la ecuación resultante sacando factor común.

$x^{3}+2=-x^{2}+2x+2\Rightarrow x^{3}+x^{2}-2x=0$

$x\left(x^{2}+x-2\right)=0\Rightarrow x\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$

$x=-2,\quad x=0,\quad x=1$

Calculamos las ordenadas con la cúbica:

$f(-2)=-8+2=-6;\qquad f(0)=2;\qquad f(1)=1+2=3$

La primera es una cúbica creciente trasladada dos unidades hacia arriba y la segunda una parábola de ramas hacia abajo con vértice en $(1,3)$:



Los puntos de corte son $(-2,-6)$, $(0,2)$ y $(1,3)$.

$\textbf{b) Determine el área del recinto limitado por las gráficas de } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{ en el primer cuadrante. [1,25 puntos]}$

De los tres cortes, los que quedan en el primer cuadrante son $(0,2)$ y $(1,3)$, así que el recinto pedido está comprendido entre las abscisas $0$ y $1$. Comprobamos qué gráfica va por encima evaluando en un punto intermedio:

$x=\dfrac{1}{2}:\quad g\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}>\dfrac{17}{8}=f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$

$\mathcal{A}=\int_{0}^{1}\left[\left(-x^{2}+2x+2\right)-\left(x^{3}+2\right)\right]dx$

$=\int_{0}^{1}\left(-x^{3}-x^{2}+2x\right)dx=\left[-\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}\right]_{0}^{1}$

$=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{-3-4+12}{12}=\dfrac{5}{12}$

El área del recinto del primer cuadrante es $\dfrac{5}{12}\approx0{,}42$ unidades de área.