Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule $\displaystyle\int_{3}^{8} \dfrac{1}{\sqrt{1 + x} - 1}\, dx$. (Sugerencia: efectúe el cambio de variable $t = \sqrt{1 + x} - 1$.) [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{3}^{8} \dfrac{1}{\sqrt{1 + x} - 1}\, dx}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Aplicamos el cambio de variable que sugiere el enunciado, que convierte la raíz en un polinomio. Al tratarse de una integral definida cambiamos también los límites de integración, con lo que no hace falta deshacer el cambio al final.

$t=\sqrt{1+x}-1\Rightarrow \sqrt{1+x}=t+1\Rightarrow 1+x=(t+1)^{2}$

$x=t^{2}+2t\Rightarrow dx=\left(2t+2\right)dt$

Los nuevos límites son:

$x=3\Rightarrow t=\sqrt{4}-1=1;\qquad x=8\Rightarrow t=\sqrt{9}-1=2$

Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando:

$\displaystyle\int_{3}^{8}\dfrac{dx}{\sqrt{1+x}-1}=\int_{1}^{2}\dfrac{2t+2}{t}\,dt=\int_{1}^{2}\left(2+\dfrac{2}{t}\right)dt$

Ambos sumandos son inmediatos:

$=\left[2t+2\ln|t|\right]_{1}^{2}=\left(4+2\ln2\right)-\left(2+2\ln1\right)$

$=2+2\ln2$

El valor de la integral es $2+2\ln2\approx3{,}3863$.