Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule $a$ sabiendo que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ax}{\left(\ln x\right)^{3} + 2x} = 1$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano). [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ax}{\left(\ln x\right)^{3} + 2x} = 1}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El límite presenta la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Lo más directo es comparar los órdenes de infinitud del numerador y del denominador, sabiendo que cualquier potencia del logaritmo es un infinito de orden inferior al de $x$.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\left(\ln x\right)^{3}}{x}=0$

Dividimos numerador y denominador entre $x$:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{ax}{\left(\ln x\right)^{3}+2x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{a}{\dfrac{\left(\ln x\right)^{3}}{x}+2}=\dfrac{a}{0+2}=\dfrac{a}{2}$

El mismo resultado se obtiene aplicando la regla de L'Hôpital, que lleva a

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{a}{\dfrac{3\left(\ln x\right)^{2}}{x}+2}$

y de nuevo el cociente del logaritmo entre $x$ tiende a cero. Imponemos ahora la condición del enunciado:

$\dfrac{a}{2}=1\Rightarrow a=2$

El valor pedido es $a=2$.