Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Considere la recta $r \equiv x - 2 = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z - 1}{2}$, así como la recta $s$ determinada por el punto $P(1, 2, 3)$ y el vector director $\vec{v} = (1 + a, -a, 3a)$.

a) Calcule $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten. [1,5 puntos]

b) Calcule $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean perpendiculares. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ para que las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{ se corten. [1,5 puntos]}$

Leemos de la ecuación continua de $r$ un punto y su vector director, y anotamos los datos de $s$.

$r:\ R(2,0,1),\ \vec v_r=(1,-1,2);\qquad s:\ P(1,2,3),\ \vec v_s=(1+a,-a,3a)$

Dos rectas se cortan cuando son coplanarias y no paralelas. La coplanariedad equivale a que el producto mixto de los dos directores y del vector que une un punto de cada recta se anule.

$\overrightarrow{RP}=(1,2,3)-(2,0,1)=(-1,2,2)$

$\begin{vmatrix}-1 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 2\\ 1+a & -a & 3a\end{vmatrix}=0$

Desarrollando por la primera fila:

$-1\left(-3a+2a\right)-2\left(3a-2(1+a)\right)+2\left(-a+(1+a)\right)$

$=a-2\left(a-2\right)+2=6-a$

$6-a=0\Rightarrow a=6$

Falta descartar el paralelismo, que haría que las rectas fueran coplanarias sin cortarse. Para $a=6$ el director de $s$ es $(7,-6,18)$, que no es proporcional a $(1,-1,2)$.

Las rectas $r$ y $s$ se cortan cuando $a=6$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ para que las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{ sean perpendiculares. [1 punto]}$

La perpendicularidad entre dos rectas solo afecta a sus direcciones, así que basta anular el producto escalar de los vectores directores; no hace falta que las rectas se corten.

$\vec v_r\cdot\vec v_s=1\cdot(1+a)+(-1)\cdot(-a)+2\cdot3a$

$=1+a+a+6a=1+8a$

$1+8a=0\Rightarrow a=-\dfrac{1}{8}$

Las rectas $r$ y $s$ son perpendiculares cuando $a=-\dfrac{1}{8}$. Como este valor no coincide con el del apartado anterior, para él las rectas se cruzan perpendicularmente sin llegar a cortarse.