Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema

$\begin{cases} x - y + mz = -3 \\ -mx + 3y - z = 1 \\ x - 4y + mz = -6 \end{cases}$

a) Discuta el sistema según los valores de $m$. [1,75 puntos]

b) Para $m = 2$ resuelva el sistema, si es posible. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema según los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada. Empezamos anulando el determinante.

$A=\begin{pmatrix}1 & -1 & m\\ -m & 3 & -1\\ 1 & -4 & m\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & m & -3\\ -m & 3 & -1 & 1\\ 1 & -4 & m & -6\end{array}\right)$

Desarrollando por la primera fila:

$|A|=(3m-4)+\left(-m^{2}+1\right)+m\left(4m-3\right)=3m^{2}-3$

$3\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\Rightarrow \begin{cases}m=1\\ m=-1\end{cases}$

Si $m\neq\pm1$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Si $m=1$, el menor $\begin{vmatrix}1 & -1\\ -1 & 3\end{vmatrix}=2\neq0$ da $\operatorname{ran}(A)=2$. Orlamos con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1 & -1 & -3\\ -1 & 3 & 1\\ 1 & -4 & -6\end{vmatrix}=-12\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

Si $m=-1$, el menor $\begin{vmatrix}1 & -1\\ 1 & 3\end{vmatrix}=4\neq0$ da de nuevo $\operatorname{ran}(A)=2$, pero ahora el orlado se anula:

$\begin{vmatrix}1 & -1 & -3\\ 1 & 3 & 1\\ 1 & -4 & -6\end{vmatrix}=0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema es compatible determinado para $m\neq\pm1$; incompatible para $m=1$, y compatible indeterminado para $m=-1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{m = 2}\textbf{ resuelva el sistema, si es posible. [0,75 puntos]}$

Por el apartado anterior el sistema es compatible determinado, con $|A|=3\cdot4-3=9\neq0$, luego tiene solución única.

$\begin{cases}x-y+2z=-3\\ -2x+3y-z=1\\ x-4y+2z=-6\end{cases}$

Restando la tercera ecuación de la primera desaparecen $x$ y $z$ de golpe:

$3y=3\Rightarrow y=1$

Sustituimos en la primera y en la segunda:

$x+2z=-2;\qquad -2x-z=-2\Rightarrow z=2-2x$

$x+2\left(2-2x\right)=-2\Rightarrow -3x=-6\Rightarrow x=2$

$z=2-4=-2$

Comprobamos en la tercera ecuación: $2-4\cdot1+2\cdot(-2)=-6$.

Para $m=2$ la solución del sistema es $(x,y,z)=(2,1,-2)$.