Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^{3}}{x^{2} - 2x + 1}$ para $x \neq 1$. Halle una primitiva de $f$ que pase por el punto $(2, 6)$. [2,5 puntos]

$\textbf{Considere la función } \boldsymbol{f}\textbf{ definida por } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{x^{3}}{x^{2} - 2x + 1}}\textbf{ para } \boldsymbol{x \neq 1}\textbf{. Halle una primitiva de } \boldsymbol{f}\textbf{ que pase por el punto } \boldsymbol{(2, 6)}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El denominador es un cuadrado perfecto, $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$, y el grado del numerador supera al del denominador, así que empezamos por la división entera y después descomponemos el resto en fracciones simples.

$x^{3}=\left(x^{2}-2x+1\right)(x+2)+\left(3x-2\right)$

$f(x)=x+2+\dfrac{3x-2}{(x-1)^{2}}$

Al ser la raíz doble, la descomposición lleva un término por cada potencia del factor:

$\dfrac{3x-2}{(x-1)^{2}}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}}$

$3x-2=A(x-1)+B$

$x=1\Rightarrow 1=B;\qquad \text{coeficiente de } x:\ 3=A$

Integramos ya término a término:

$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int\left(x+2\right)dx+3\int\dfrac{dx}{x-1}+\int\dfrac{dx}{(x-1)^{2}}$

$F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+2x+3\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$

Imponemos por último que la gráfica pase por $(2,6)$:

$F(2)=2+4+3\ln1-1+C=5+C$

$5+C=6\Rightarrow C=1$

La primitiva pedida es $F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+2x+3\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+1$.