Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 0 \\ (x - 2)^{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

a) Calcule los puntos de corte de la gráfica de $f$ con el eje de abscisas y esboce la gráfica de la función. [1 punto]

b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y por el eje de abscisas. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los puntos de corte de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ con el eje de abscisas y esboce la gráfica de la función. [1 punto]}$

Igualamos a cero cada rama, quedándonos solo con las soluciones que caen dentro del intervalo en que esa rama está definida.

$2x+4=0\Rightarrow x=-2$

El valor cumple $x<0$, luego es válido.

$(x-2)^{2}=0\Rightarrow x=2$

También es válido, pues $2\geq0$. Comprobamos además que la función es continua en el empalme, lo que da la forma de la gráfica:

$\displaystyle\lim_{x\to0^{-}}\left(2x+4\right)=4=(0-2)^{2}=f(0)$

La gráfica es una recta de pendiente $2$ hasta el punto $(0,4)$ y, a partir de ahí, la parábola de vértice $(2,0)$ y ramas hacia arriba:



Los puntos de corte con el eje de abscisas son $(-2,0)$ y $(2,0)$.

$\textbf{b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ y por el eje de abscisas. [1,5 puntos]}$

El recinto cerrado queda entre las dos abscisas de corte, y en todo él la función es positiva o nula, así que el área es la integral de $f$ sin valor absoluto. Hay que partirla en $x=0$ porque ahí cambia la expresión.

$\mathcal{A}=\int_{-2}^{0}\left(2x+4\right)dx+\int_{0}^{2}\left(x-2\right)^{2}dx$

$\int_{-2}^{0}\left(2x+4\right)dx=\left[x^{2}+4x\right]_{-2}^{0}=0-\left(4-8\right)=4$

$\int_{0}^{2}\left(x-2\right)^{2}dx=\left[\dfrac{(x-2)^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=0-\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{8}{3}$

$\mathcal{A}=4+\dfrac{8}{3}=\dfrac{20}{3}$

El área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas es de $\dfrac{20}{3}\approx6{,}67$ unidades de área.