Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2022

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determine las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = 4 - \dfrac{x^{2}}{3}$ y $g(x) = \dfrac{x^{2}}{6} - 2$. [2,5 puntos]

$\textbf{De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determine las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Las dos parábolas son funciones pares, así que la región que encierran es simétrica respecto del eje de ordenadas y también lo será el rectángulo de área máxima. Eso permite describirlo con una sola variable: si su vértice superior derecho tiene abscisa $x$, los cuatro vértices son $(\pm x,f(x))$ y $(\pm x,g(x))$.

Localizamos primero los cortes, que acotan el recorrido de la variable:

$4-\dfrac{x^{2}}{3}=\dfrac{x^{2}}{6}-2\Rightarrow 6=\dfrac{x^{2}}{2}\Rightarrow x^{2}=12\Rightarrow x=\pm2\sqrt{3}$











La base del rectángulo mide $2x$ y su altura es la diferencia de ordenadas entre las dos parábolas:

$f(x)-g(x)=4-\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{x^{2}}{6}+2=6-\dfrac{x^{2}}{2}$

$A(x)=2x\left(6-\dfrac{x^{2}}{2}\right)=12x-x^{3},\quad 0<x<2\sqrt{3}$





Derivamos la función área y anulamos la derivada:

$A'(x)=12-3x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x=\pm2$

Se descarta $x=-2$ por no pertenecer al dominio de la variable, que es positiva por ser media base. Comprobamos con la derivada segunda que se trata de un máximo:

$A''(x)=-6x;\qquad A''(2)=-12<0$

Al ser el único extremo del intervalo, ese máximo relativo es también el absoluto. Calculamos las dimensiones:

$\text{base}=2\cdot2=4;\qquad \text{altura}=6-\dfrac{2^{2}}{2}=4$

$A(2)=12\cdot2-2^{3}=16$

El rectángulo de área máxima es en realidad un cuadrado de $4$ unidades de lado, con vértices en $(\pm2,\frac{8}{3})$ y $(\pm2,-\frac{4}{3})$, y su área vale $16$ unidades de área.