Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función continua $f$ definida por

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x < -1 \\[1.5ex] ax + b & \text{si } -1 \leq x < 1 \\[1.5ex] \dfrac{x^{2}}{x + 1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$

a) Calcule $a$ y $b$. [1 punto]

b) Estudie y halle las asíntotas de la gráfica de $f$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{. [1 punto]}$

Las tres ramas son continuas en el interior de sus intervalos por ser cocientes de polinomios con denominador no nulo y una función afín. El enunciado afirma que $f$ es continua, así que basta imponer esa condición en los dos puntos de empalme, $x=-1$ y $x=1$.

En $x=-1$, el valor de la función lo da la segunda rama y el límite por la izquierda, la primera:

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{1}{x}=-1;\qquad f(-1)=-a+b$

$-a+b=-1$

En $x=1$, el límite por la izquierda lo da la segunda rama y el valor, la tercera:

$\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}\left(ax+b\right)=a+b;\qquad f(1)=\dfrac{1^{2}}{1+1}=\dfrac{1}{2}$

$a+b=\dfrac{1}{2}$

Sumamos las dos ecuaciones:

$2b=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=-\dfrac{1}{4};\qquad a=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

La función es continua únicamente para $a=\dfrac{3}{4}$ y $b=-\dfrac{1}{4}$.

$\textbf{b) Estudie y halle las asíntotas de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Buscamos primero asíntotas verticales. El único valor que anularía un denominador es $x=0$ en la primera rama y $x=-1$ en la tercera, pero ninguno pertenece al intervalo en que esa rama está definida, y $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por el apartado anterior.

No hay asíntotas verticales.

Estudiamos ahora las dos ramas infinitas por separado. Por la izquierda actúa $\frac{1}{x}$:

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0$

luego $y=0$ es asíntota horizontal cuando $x\to-\infty$.

Por la derecha actúa $\frac{x^{2}}{x+1}$:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}}{x+1}=+\infty$

de modo que no hay asíntota horizontal por la derecha y procede buscar una oblicua $y=mx+n$.

$m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}}{x^{2}+x}=1$

$n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^{2}}{x+1}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}-x^{2}-x}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-x}{x+1}=-1$

La gráfica de $f$ no tiene asíntotas verticales; tiene la asíntota horizontal $y=0$ cuando $x\to-\infty$ y la asíntota oblicua $y=x-1$ cuando $x\to+\infty$.