Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere los planos $\pi_{1} \equiv x - y + z = 0$ y $\pi_{2} \equiv x + y = 2$.

a) Calcule la distancia entre la recta intersección de $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ y el punto $P(2, 6, -2)$. [1,5 puntos]

b) Halle el ángulo que forman $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la distancia entre la recta intersección de } \boldsymbol{\pi_{1}}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_{2}}\textbf{ y el punto } \boldsymbol{P(2, 6, -2)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Necesitamos un punto y un vector director de la recta intersección. El director es perpendicular a los dos normales, luego es su producto vectorial, y el punto se obtiene resolviendo el sistema de los dos planos.

$\vec n_{1}=(1,-1,1);\qquad \vec n_{2}=(1,1,0)$

$\vec v_r=\vec n_{1}\times\vec n_{2}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix}=(-1,1,2)$

Tomando $z=0$ queda $x-y=0$ junto con $x+y=2$, de donde $x=y=1$:

$R(1,1,0)$

Aplicamos ahora la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

$\overrightarrow{RP}=(2,6,-2)-(1,1,0)=(1,5,-2)$

$\overrightarrow{RP}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 5 & -2\\ -1 & 1 & 2\end{vmatrix}=(12,0,6)$

$\left|\overrightarrow{RP}\times\vec v_r\right|=\sqrt{144+0+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$

$\left|\vec v_r\right|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

$d(P,r)=\dfrac{6\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\sqrt{30}$

La distancia del punto $P$ a la recta intersección es $\sqrt{30}\approx5{,}48$ unidades.

$\textbf{b) Halle el ángulo que forman } \boldsymbol{\pi_{1}}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_{2}}\textbf{. [1 punto]}$











El ángulo que forman dos planos es el que forman sus vectores normales, tomado siempre agudo, de ahí el valor absoluto en el numerador.

$\cos\alpha=\dfrac{\left|\vec n_{1}\cdot\vec n_{2}\right|}{\left|\vec n_{1}\right|\left|\vec n_{2}\right|}$

$\vec n_{1}\cdot\vec n_{2}=1\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot0=0$





$\cos\alpha=\dfrac{0}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}=0\Rightarrow \alpha=90^{\circ}$

Los planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ forman un ángulo de $90^{\circ}$, es decir, son perpendiculares.