Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6 %, el 12 % y el 30 %, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcule el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas. [2,5 puntos]}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al importe en euros de refrescos, cerveza y vino sin incluir impuestos. Cada frase del enunciado da una ecuación, y al final habrá que aplicar los porcentajes para responder a lo que se pregunta, que son los importes con impuestos.

$\begin{cases}x+y+z=500\\ z=x+y-60\\ 1{,}06x+1{,}12y+1{,}30z=592{,}4\end{cases}$

De la primera ecuación, $x+y=500-z$, y sustituyendo en la segunda se despeja el vino de inmediato:

$z=(500-z)-60\Rightarrow 2z=440\Rightarrow z=220$

$x+y=500-220=280$

Llevamos $z=220$ a la tercera ecuación:

$1{,}06x+1{,}12y+1{,}30\cdot220=592{,}4\Rightarrow 1{,}06x+1{,}12y=306{,}4$

Sustituimos $y=280-x$:

$1{,}06x+1{,}12\,(280-x)=306{,}4\Rightarrow -0{,}06x=-7{,}2\Rightarrow x=120$

$y=280-120=160$

Aplicamos por último a cada importe su porcentaje de impuestos, que es lo que pide el enunciado:

$120\cdot1{,}06=127{,}2;\qquad 160\cdot1{,}12=179{,}2;\qquad 220\cdot1{,}30=286$

Comprobamos que la suma reproduce la factura: $127{,}2+179{,}2+286=592{,}4$.

Impuestos incluidos, se invirtieron $127{,}2$ euros en refrescos, $179{,}2$ euros en cerveza y $286$ euros en vino.