Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = 5 - x^{2}$ y $g(x) = \dfrac{4}{x^{2}}$.

a) Esboce las gráficas de las dos funciones y calcule los puntos de corte entre ellas. [1,25 puntos]

b) Calcule la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de $f$ y $g$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Esboce las gráficas de las dos funciones y calcule los puntos de corte entre ellas. [1,25 puntos]}$

La primera función es una parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $(0,5)$; la segunda es siempre positiva, par, y tiene al eje de ordenadas como asíntota vertical y al eje de abscisas como asíntota horizontal. Igualamos las dos expresiones para hallar los cortes.

$5-x^{2}=\dfrac{4}{x^{2}}$

Multiplicamos por $x^{2}$, que no se anula en el dominio de $g$:

$5x^{2}-x^{4}=4\Rightarrow x^{4}-5x^{2}+4=0$

Es una ecuación bicuadrada; con $u=x^{2}$:

$u^{2}-5u+4=0\Rightarrow u=\dfrac{5\pm3}{2}\Rightarrow \begin{cases}u=4\\ u=1\end{cases}$

$x^{2}=4\Rightarrow x=\pm2;\qquad x^{2}=1\Rightarrow x=\pm1$

Calculamos las ordenadas con la parábola:

$f(\pm1)=5-1=4;\qquad f(\pm2)=5-4=1$

Las gráficas se cortan en $(-2,1)$, $(-1,4)$, $(1,4)$ y $(2,1)$, y encierran dos recintos simétricos respecto del eje de ordenadas:



$\textbf{b) Calcule la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Como ambas funciones son pares, los dos recintos tienen la misma área y basta calcular el de la derecha y duplicar. Comprobamos antes qué gráfica va por encima evaluando en un punto intermedio:

$x=\dfrac{3}{2}:\quad f\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{11}{4}>\dfrac{16}{9}=g\!\left(\dfrac{3}{2}\right)$

$\mathcal{A}_1=\int_{1}^{2}\left(5-x^{2}-\dfrac{4}{x^{2}}\right)dx=\left[5x-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{4}{x}\right]_{1}^{2}$

$=\left(10-\dfrac{8}{3}+2\right)-\left(5-\dfrac{1}{3}+4\right)=\dfrac{28}{3}-\dfrac{26}{3}=\dfrac{2}{3}$

Por la simetría respecto del eje $OY$, el recinto de la izquierda mide lo mismo:

$\mathcal{A}=2\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$

La suma de las áreas de los dos recintos es $\dfrac{4}{3}\approx1{,}33$ unidades de área.