Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule $a$ con $0 < a < 1$, tal que $\displaystyle\int_{a}^{1} \dfrac{\ln(x)}{x}\, dx + 2 = 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano). [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ con } \boldsymbol{0 < a < 1}\textbf{, tal que } \boldsymbol{\displaystyle\int_{a}^{1} \dfrac{\ln(x)}{x}\, dx + 2 = 0}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El integrando tiene la forma de una función por su derivada, pues la derivada de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$. La integral es, por tanto, inmediata con el cambio $t=\ln(x)$.

$\begin{cases}t=\ln(x)\\ dt=\dfrac{1}{x}\,dx\end{cases}$

$\displaystyle\int\dfrac{\ln(x)}{x}\,dx=\int t\,dt=\dfrac{t^{2}}{2}+C=\dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{2}+C$

Aplicamos la regla de Barrow entre $a$ y $1$:

$\displaystyle\int_{a}^{1}\dfrac{\ln(x)}{x}\,dx=\left[\dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{2}\right]_{a}^{1}=\dfrac{\left(\ln1\right)^{2}}{2}-\dfrac{\left(\ln(a)\right)^{2}}{2}=-\dfrac{\left(\ln(a)\right)^{2}}{2}$

Imponemos ahora la condición del enunciado:

$-\dfrac{\left(\ln(a)\right)^{2}}{2}+2=0\Rightarrow \left(\ln(a)\right)^{2}=4$

$\ln(a)=\pm2\Rightarrow \begin{cases}a=e^{2}\\ a=e^{-2}\end{cases}$

Se descarta $a=e^{2}\approx7{,}39$ por no cumplir la condición $0<a<1$ que impone el enunciado.

El valor buscado es $a=e^{-2}=\dfrac{1}{e^{2}}\approx0{,}1353$.