Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Sea $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x\left(\ln(x)\right)^{2}$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a) Calcule, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,25 puntos]

b) Calcule, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,25 puntos]}$

La función es producto de $x$ por el cuadrado de un logaritmo, ambos derivables en $(0,+\infty)$. Derivamos con la regla del producto y sacamos factor común.

$f'(x)=\left(\ln(x)\right)^{2}+x\cdot2\ln(x)\cdot\dfrac{1}{x}=\left(\ln(x)\right)^{2}+2\ln(x)$

$f'(x)=\ln(x)\left(\ln(x)+2\right)$

$\ln(x)=0\Rightarrow x=1;\qquad \ln(x)=-2\Rightarrow x=e^{-2}$

Llamando $u=\ln(x)$, el producto $u(u+2)$ es positivo fuera de $[-2,0]$ y negativo dentro. Como el logaritmo es creciente, eso se traduce en el siguiente reparto de signos:



En $x=e^{-2}$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=1$ de decrecer a crecer:

$f\!\left(e^{-2}\right)=e^{-2}\left(-2\right)^{2}=4e^{-2}\approx0{,}5413$

$f(1)=1\cdot\left(\ln1\right)^{2}=0$

Hay un máximo relativo en $x=e^{-2}$, de valor $4e^{-2}\approx0{,}54$, y un mínimo relativo en $x=1$, de valor $0$.

$\textbf{b) Calcule, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,25 puntos]}$

El dominio $(0,+\infty)$ es abierto y no acotado, de modo que un extremo relativo solo será absoluto si el comportamiento en los bordes no lo supera. Estudiamos los dos límites.

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\left(\ln(x)\right)^{2}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x)\right)^{2}=+\infty$

Por la derecha la función crece sin cota, así que no hay máximo absoluto: el máximo relativo de $4e^{-2}$ queda superado en cuanto $x$ es suficientemente grande.

Para el mínimo basta observar que $x>0$ y que $\left(\ln(x)\right)^{2}\geq0$, luego $f(x)\geq0$ en todo el dominio, y la igualdad solo se da en $x=1$. El valor $0$ del borde izquierdo no se alcanza, porque $x=0$ no pertenece al dominio.

La función alcanza su mínimo absoluto en $x=1$, donde vale $0$, y no tiene máximo absoluto.