Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Sea la función $f : [-2, 2\pi] \longrightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \begin{cases} 5x + 1 & \text{si } -2 \leq x \leq 0 \\ e^{x}\cos(x) & \text{si } 0 < x \leq 2\pi \end{cases}$

a) Halle los extremos relativos y absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \dfrac{\pi}{2}$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Halle los extremos relativos y absolutos de } \boldsymbol{f}\textbf{ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2 puntos]}$

La función está definida en un intervalo cerrado, así que los extremos absolutos hay que buscarlos entre los puntos críticos, los puntos donde no es derivable y los extremos del intervalo. Empezamos comprobando qué ocurre en $x=0$, donde cambia la definición.

$f(0)=5\cdot0+1=1;\qquad \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}e^{x}\cos(x)=1$

La función es continua en $x=0$, pero no derivable: por la izquierda la pendiente vale $5$ y por la derecha $e^{0}(\cos 0-\operatorname{sen}0)=1$. En la primera rama, $f'(x)=5>0$, luego crece en todo $[-2,0]$ y no hay extremos interiores. Derivamos la segunda rama:

$f'(x)=e^{x}\cos(x)-e^{x}\operatorname{sen}(x)=e^{x}\left(\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\right)$

Como la exponencial es siempre positiva, el signo lo pone el paréntesis:

$\cos(x)=\operatorname{sen}(x)\Rightarrow \operatorname{tg}(x)=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4},\ x=\dfrac{5\pi}{4}$



En $x=\frac{\pi}{4}$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=\frac{5\pi}{4}$ de decrecer a crecer:

$f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{\pi/4}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx1{,}55$

$f\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=-e^{5\pi/4}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx-35{,}89$

Comparamos ahora con los valores en los extremos del intervalo:

$f(-2)=5\cdot(-2)+1=-9;\qquad f(2\pi)=e^{2\pi}\cos(2\pi)=e^{2\pi}\approx535{,}49$

Hay un máximo relativo en $x=\dfrac{\pi}{4}$, de valor $\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4}\approx1{,}55$, y un mínimo relativo en $x=\dfrac{5\pi}{4}$, de valor $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4}\approx-35{,}89$. El máximo absoluto se alcanza en el extremo $x=2\pi$, donde vale $e^{2\pi}\approx535{,}49$, y el mínimo absoluto coincide con el mínimo relativo, en $x=\dfrac{5\pi}{4}$.

$\textbf{b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = \dfrac{\pi}{2}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La abscisa cae en la segunda rama, así que usamos la expresión y la derivada ya calculadas para $e^{x}\cos(x)$.

$f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$

$f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\left(0-1\right)=-e^{\pi/2}$

Escribimos la ecuación punto-pendiente:

$y-0=-e^{\pi/2}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$

La recta tangente en $x=\dfrac{\pi}{2}$ es $y=-e^{\pi/2}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$, cuya pendiente vale aproximadamente $-4{,}81$.