Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere el punto $A(-1, 1, 3)$ y la recta $r$ determinada por los puntos $B(2, 1, 1)$ y $C(0, 1, -1)$.

a) Halle la distancia del punto $A$ a la recta $r$. [1,5 puntos]

b) Calcule el área del triángulo cuyos vértices son $A$, $B$ y $C$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle la distancia del punto } \boldsymbol{A}\textbf{ a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,5 puntos]}$











La recta viene dada por dos de sus puntos, así que su vector director es el que los une. La distancia se obtiene con la fórmula del producto vectorial, que mide el área del paralelogramo dividida por la base.

$\overrightarrow{BC}=(0,1,-1)-(2,1,1)=(-2,0,-2)$

Simplificamos el director quitando el factor $-2$:

$\vec v_r=(1,0,1)$





$\overrightarrow{AB}=(2,1,1)-(-1,1,3)=(3,0,-2)$

$\overrightarrow{AB}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & 0 & -2\\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}=(0,-5,0)$

$\left|\overrightarrow{AB}\times\vec v_r\right|=5;\qquad \left|\vec v_r\right|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$

$d(A,r)=\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\times\vec v_r\right|}{\left|\vec v_r\right|}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

La distancia del punto $A$ a la recta $r$ es $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx3{,}54$ unidades.

$\textbf{b) Calcule el área del triángulo cuyos vértices son } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [1 punto]}$

El área es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados concurrentes en un vértice; tomamos los que parten de $A$.

$\overrightarrow{AC}=(0,1,-1)-(-1,1,3)=(1,0,-4)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & 0 & -2\\ 1 & 0 & -4\end{vmatrix}=(0,10,0)$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left|(0,10,0)\right|=\dfrac{10}{2}=5$

Comprobamos el resultado con la fórmula elemental, tomando $\overline{BC}$ como base y la distancia del apartado anterior como altura:

$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt{2}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\dfrac{5\sqrt{2}}{2}=5$

El área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es de $5$ unidades de área.