Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

El plano perpendicular al segmento de extremos $P(0, 3, 8)$ y $Q(2, 1, 6)$ que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos $A$, $B$ y $C$. Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A$, $B$ y $C$. [2,5 puntos]

$\textbf{El plano perpendicular al segmento de extremos } \boldsymbol{P(0, 3, 8)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q(2, 1, 6)}\textbf{ que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El problema se resuelve en tres fases: i) se escribe el plano mediador del segmento; ii) se cortan sus ecuaciones con cada eje; iii) se calcula el área del triángulo mediante el producto vectorial.

i) El vector $\overrightarrow{PQ}$ es normal al plano, y el punto medio del segmento le pertenece.

$\overrightarrow{PQ}=(2,1,6)-(0,3,8)=(2,-2,-2)$

$M=\left(\dfrac{0+2}{2},\dfrac{3+1}{2},\dfrac{8+6}{2}\right)=(1,2,7)$

Como el vector normal admite el factor común $2$, tomamos el más sencillo $(1,-1,-1)$:

$\pi: x-y-z+D=0;\quad 1-2-7+D=0\Rightarrow D=8$

$\pi: x-y-z+8=0$

ii) Cortamos con cada eje anulando las otras dos coordenadas:

$y=z=0\Rightarrow x+8=0\Rightarrow A(-8,0,0)$

$x=z=0\Rightarrow -y+8=0\Rightarrow B(0,8,0)$

$x=y=0\Rightarrow -z+8=0\Rightarrow C(0,0,8)$











iii) El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{AB}=(8,8,0);\qquad \overrightarrow{AC}=(8,0,8)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 8 & 8 & 0\\ 8 & 0 & 8\end{vmatrix}=(64,-64,-64)$





$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{64^{2}+64^{2}+64^{2}}=64\sqrt{3}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot64\sqrt{3}=32\sqrt{3}$

El área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es de $32\sqrt{3}\approx55{,}43$ unidades de área.