Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El 60 % de los coches blancos más el 50 % de los coches negros representan el 30 % de los coches vendidos. El 20 % de los coches blancos junto con el 60 % de los coches negros y el 60 % de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determine el número de coches vendidos de cada color. [2,5 puntos]

$\textbf{Determine el número de coches vendidos de cada color. [2,5 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de coches blancos, $y$ al de negros y $z$ al de rojos, de modo que el total vendido es $x+y+z$. Cada frase del enunciado se traduce en una ecuación.

$\begin{cases}0{,}6x+0{,}5y=0{,}3\,(x+y+z)\\ 0{,}2x+0{,}6y+0{,}6z=0{,}5\,(x+y+z)\\ y=x+100\end{cases}$

Multiplicamos por $10$ las dos primeras y agrupamos términos:

$6x+5y=3x+3y+3z\Rightarrow 3x+2y-3z=0$

$2x+6y+6z=5x+5y+5z\Rightarrow -3x+y+z=0$

De esta última despejamos $z$:

$z=3x-y$

y lo llevamos a la primera:

$3x+2y-3\,(3x-y)=0\Rightarrow -6x+5y=0\Rightarrow y=\dfrac{6x}{5}$

Usamos por último la tercera condición del enunciado:

$\dfrac{6x}{5}=x+100\Rightarrow 6x=5x+500\Rightarrow x=500$

$y=500+100=600;\qquad z=3\cdot500-600=900$

Comprobamos el resultado en la primera condición, con un total de $2000$ coches:

$0{,}6\cdot500+0{,}5\cdot600=300+300=600=0{,}3\cdot2000$

Se han vendido $500$ coches blancos, $600$ negros y $900$ rojos, $2000$ en total.