Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) dt$. Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x F(x)}{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}$. [2,5 puntos]

$\textbf{Considere la función } \boldsymbol{F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\textbf{ definida por } \boldsymbol{F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) dt}\textbf{. Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x F(x)}{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El integrando es continuo en todo $\mathbb{R}$, así que por el teorema fundamental del cálculo $F$ es derivable y su derivada es el integrando evaluado en el límite superior. Esto es lo que permite derivar sin calcular la integral, que no tiene primitiva elemental.

$F'(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right);\qquad F(0)=\int_{0}^{0}\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)dt=0$

Sustituyendo directamente aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, y aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador. En el numerador hay que usar la regla del producto.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{xF(x)}{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}=\lim_{x\to0}\dfrac{F(x)+xF'(x)}{2x\cos\left(x^{2}\right)}=\lim_{x\to0}\dfrac{F(x)+x\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{2x\cos\left(x^{2}\right)}$

De nuevo el numerador y el denominador tienden a $0$, así que volvemos a aplicar L'Hôpital:

$\displaystyle=\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos\left(x^{2}\right)}{2\cos\left(x^{2}\right)-4x^{2}\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}$

Ahora el denominador ya no se anula, y basta sustituir:

$=\dfrac{0+0+0}{2\cdot1-0}=\dfrac{0}{2}=0$

El límite pedido vale $0$. El resultado es coherente con el orden de los infinitésimos: cerca del origen $F(x)\approx\frac{x^{3}}{3}$ y $\operatorname{sen}(x^{2})\approx x^{2}$, de modo que el cociente se comporta como $\frac{x^{2}}{3}$.