Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x|x - 1|$. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $x = 0$. [2,5 puntos]

$\textbf{Considere la función } \boldsymbol{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\textbf{, definida por } \boldsymbol{f(x) = x|x - 1|}\textbf{. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 0}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Empezamos escribiendo la función a trozos según el signo de $x-1$, porque la tangente y las integrales dependen de qué rama se use.

$f(x)=\begin{cases}x(1-x)=x-x^{2} & \text{si } x<1\\ x(x-1)=x^{2}-x & \text{si } x\geq1\end{cases}$

El punto $x=0$ está en la primera rama, así que la tangente se calcula con ella:

$f(0)=0;\qquad f'(x)=1-2x\Rightarrow f'(0)=1$

$y-0=1\,(x-0)\Rightarrow y=x$

Buscamos ahora dónde corta esa recta a la gráfica, resolviendo la igualdad en cada rama. En la primera:

$x-x^{2}=x\Rightarrow -x^{2}=0\Rightarrow x=0$

En la segunda:

$x^{2}-x=x\Rightarrow x^{2}-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=2$

Se descarta $x=0$ en esta segunda rama por no cumplir $x\geq1$. El recinto queda, pues, entre $x=0$ y $x=2$, y en todo él la recta va por encima de la curva, como se comprueba evaluando en $x=\frac{1}{2}$ y en $x=\frac{3}{2}$:



El área es la integral de la diferencia entre la recta y la función, partida en $x=1$ porque ahí cambia la expresión de $f$.

$\mathcal{A}=\int_{0}^{1}\left[x-\left(x-x^{2}\right)\right]dx+\int_{1}^{2}\left[x-\left(x^{2}-x\right)\right]dx$

$\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}$

$\int_{1}^{2}\left(2x-x^{2}\right)dx=\left[x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\left(4-\dfrac{8}{3}\right)-\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$

El área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y su tangente en el origen es de $1$ unidad de área.