Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Sea la función $f : [-2, 2] \longrightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^{3} - 2x + 5$.

a) Determine las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(-2, f(-2))$ y $(2, f(2))$. [1,5 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de inflexión. [1 punto]

$\textbf{a) Determine las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos } \boldsymbol{(-2, f(-2))}\textbf{ y } \boldsymbol{(2, f(2))}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Calculamos primero la pendiente de la recta que une los dos extremos del intervalo y después imponemos que la derivada tome ese valor, teniendo cuidado de quedarnos solo con las soluciones que caen dentro de $[-2,2]$.

$f(-2)=(-2)^{3}-2(-2)+5=-8+4+5=1$

$f(2)=2^{3}-2\cdot2+5=8-4+5=9$

$m=\dfrac{9-1}{2-(-2)}=\dfrac{8}{4}=2$

$f'(x)=3x^{2}-2$

$3x^{2}-2=2\Rightarrow 3x^{2}=4\Rightarrow x^{2}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow x=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Ambos valores son válidos, porque $\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx1{,}1547<2$. Que existan era previsible: $f$ es continua en $[-2,2]$ y derivable en $(-2,2)$, así que el teorema del valor medio garantiza al menos un punto con esa pendiente.

Las abscisas pedidas son $x=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ y $x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

$\textbf{b) Determine la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de inflexión. [1 punto]}$

El punto de inflexión se localiza anulando la derivada segunda y comprobando que cambia de signo.

$f''(x)=6x$

$6x=0\Rightarrow x=0$

La derivada segunda es negativa a la izquierda de $0$ y positiva a la derecha, luego la curvatura cambia y en $x=0$ hay efectivamente un punto de inflexión.

$f(0)=5;\qquad f'(0)=3\cdot0^{2}-2=-2$

La tangente pasa por $(0,5)$ con pendiente $-2$:

$y-5=-2\,(x-0)\Rightarrow y=-2x+5$

La normal es perpendicular a ella, luego su pendiente es la opuesta de la inversa:

$m_n=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$

$y-5=\dfrac{1}{2}\,(x-0)$

En el punto de inflexión $(0,5)$, la recta tangente es $y=-2x+5$ y la recta normal es $y=\dfrac{x}{2}+5$.