Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{1}{e^{x} + e^{-x}}$.

a) Estudie y halle los máximos y mínimos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,5 puntos]

b) Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^{2} f(x)\right)$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie y halle los máximos y mínimos absolutos de } \boldsymbol{f}\textbf{ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,5 puntos]}$

El denominador $e^{x}+e^{-x}$ es suma de dos exponenciales, siempre positiva, de modo que $f$ está definida y es derivable en todo $\mathbb{R}$ y no se anula nunca. Buscamos los extremos anulando la derivada.

$f'(x)=\dfrac{-\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}$

$f'(x)=0\Rightarrow e^{x}-e^{-x}=0\Rightarrow e^{2x}=1\Rightarrow x=0$

Como el denominador está elevado al cuadrado, el signo de $f'(x)$ es el de $-\left(e^{x}-e^{-x}\right)$. Para $x<0$ se cumple $e^{x}<e^{-x}$ y la derivada es positiva; para $x>0$ ocurre lo contrario.



La función crece hasta $x=0$ y decrece después, luego ahí hay un máximo relativo:

$f(0)=\dfrac{1}{e^{0}+e^{0}}=\dfrac{1}{2}$

Al ser el único extremo y no estar el dominio acotado, comprobamos el comportamiento en el infinito:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}=0;\qquad \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}=0$

La función alcanza su máximo absoluto en $x=0$, donde vale $\dfrac{1}{2}$. No tiene mínimo absoluto: es siempre positiva y se acerca a $0$ en las dos ramas, pero ese valor no lo toma en ningún punto.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^{2} f(x)\right)}\textbf{. [1 punto]}$

El límite presenta la indeterminación $\infty\cdot0$, que se convierte en $\frac{\infty}{\infty}$ sin más que escribir el producto como cociente.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}\cdot\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}\right)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+e^{-x}}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital:

$\displaystyle=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{e^{x}-e^{-x}}$

La indeterminación persiste, así que la aplicamos de nuevo:

$\displaystyle=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{2}{+\infty}=0$

El límite pedido vale $0$: la exponencial es un infinito de orden superior al del polinomio.