Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Considere el plano $\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$.

a) Estudie la posición relativa de $\pi$ y $r$. [1 punto]

b) Calcule la ecuación de la recta contenida en $\pi$ que pasa por el punto $P(2, -1, -2)$ y es perpendicular a $r$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Una recta y un plano se cortan, son paralelos o la recta está contenida en el plano. Lo decide el producto escalar del director de la recta por el normal del plano y, si es nulo, comprobar si un punto de la recta pertenece al plano.

$\vec v_r=(2,1,0);\qquad \vec n_{\pi}=(1,-2,1)$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=2\cdot1+1\cdot(-2)+0\cdot1=0$

Al ser el producto escalar nulo, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Tomamos el punto de $r$ que se obtiene con $\lambda=0$ y lo sustituimos en la ecuación del plano:

$P_0(1,0,1);\qquad 1-2\cdot0+1-2=0$

El punto satisface la ecuación, luego la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación de la recta contenida en } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{P(2, -1, -2)}\textbf{ y es perpendicular a } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,5 puntos]}$











La recta buscada, que llamamos $s$, ha de cumplir dos condiciones sobre su vector director: ser perpendicular a $\vec v_r$ y, por estar contenida en $\pi$, ser también perpendicular a $\vec n_{\pi}$. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial.

Antes comprobamos que $P$ pertenece al plano, pues de lo contrario el problema no tendría solución:

$2-2\cdot(-1)+(-2)-2=0$





$\vec v_s=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1\end{vmatrix}=(1,-2,-5)$

Con el punto y el director escribimos las ecuaciones paramétricas:

$s:\begin{cases}x=2+\mu\\ y=-1-2\mu\\ z=-2-5\mu\end{cases},\quad \mu\in\mathbb{R}$

Comprobamos las dos condiciones. La perpendicularidad con $r$:

$\vec v_s\cdot\vec v_r=1\cdot2+(-2)\cdot1+(-5)\cdot0=0$

Y que todo punto de $s$ está en $\pi$:

$(2+\mu)-2(-1-2\mu)+(-2-5\mu)-2=\mu+4\mu-5\mu=0$

La recta pedida es $s:\begin{cases}x=2+\mu\\ y=-1-2\mu\\ z=-2-5\mu\end{cases}$, de vector director $(1,-2,-5)$.