Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Halle $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos(x)\, dx$. [2,5 puntos]

$\textbf{Halle } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos(x)\, dx}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El integrando es producto de una exponencial por una función trigonométrica. Se resuelve integrando por partes dos veces: la segunda hace reaparecer la integral de partida, y de la igualdad resultante se despeja.

Llamamos $I=\displaystyle\int e^{x}\cos(x)\,dx$ y tomamos $u=\cos(x)$, $dv=e^{x}dx$:

$\begin{cases}u=\cos(x) & du=-\operatorname{sen}(x)\,dx\\ dv=e^{x}dx & v=e^{x}\end{cases}$

$I=e^{x}\cos(x)+\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx$

Aplicamos partes de nuevo a esta última integral, ahora con $u=\operatorname{sen}(x)$:

$\begin{cases}u=\operatorname{sen}(x) & du=\cos(x)\,dx\\ dv=e^{x}dx & v=e^{x}\end{cases}$

$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=e^{x}\operatorname{sen}(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\operatorname{sen}(x)-I$

Sustituimos y despejamos $I$:

$I=e^{x}\cos(x)+e^{x}\operatorname{sen}(x)-I\Rightarrow 2I=e^{x}\left(\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\right)$

$I=\dfrac{e^{x}\left(\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\right)}{2}$

Aplicando ahora la regla de Barrow entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}e^{x}\cos(x)\,dx=\left[\dfrac{e^{x}\left(\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\right)}{2}\right]_{0}^{\pi/2}$

$=\dfrac{e^{\pi/2}\left(0+1\right)}{2}-\dfrac{e^{0}\left(1+0\right)}{2}=\dfrac{e^{\pi/2}-1}{2}$

El valor de la integral es $\dfrac{e^{\pi/2}-1}{2}\approx1{,}9052$.