Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Sean $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas por $f(x) = -x^{2} + 7$ y $g(x) = |x^{2} - 1|$.

a) Halle los puntos de intersección de las gráficas de $f$ y $g$. Realice un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. [1 punto]

b) Calcule el área de dicho recinto. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Halle los puntos de intersección de las gráficas de } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{. Realice un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. [1 punto]}$

La segunda función lleva un valor absoluto, así que empezamos escribiéndola a trozos según el signo de $x^{2}-1$, que se anula en $x=\pm1$.

$g(x)=\begin{cases}x^{2}-1 & \text{si } |x|\geq1\\ 1-x^{2} & \text{si } |x|<1\end{cases}$

Igualamos las dos funciones en cada tramo. Para $|x|\geq1$:

$-x^{2}+7=x^{2}-1\Rightarrow 2x^{2}=8\Rightarrow x=\pm2$

Los dos valores cumplen $|x|\geq1$, luego son válidos. Para $|x|<1$:

$-x^{2}+7=1-x^{2}\Rightarrow 7=1$

que es imposible, de modo que en la franja central las gráficas no se cortan. Calculamos la ordenada común:

$f(\pm2)=-4+7=3$

Las gráficas se cortan en los puntos $(-2,3)$ y $(2,3)$. Entre esas abscisas la parábola $f$ queda por encima, pues en $x=0$ vale $7$ frente a $1$, y el recinto que encierran es el sombreado:



$\textbf{b) Calcule el área de dicho recinto. [1,5 puntos]}$

El área es la integral de la diferencia entre la función de arriba y la de abajo, pero como $g$ cambia de expresión en $x=\pm1$ hay que partir el intervalo. Las dos funciones son pares, así que basta integrar de $0$ a $2$ y duplicar.

$\mathcal{A}=2\left[\int_{0}^{1}\left[(-x^{2}+7)-(1-x^{2})\right]dx+\int_{1}^{2}\left[(-x^{2}+7)-(x^{2}-1)\right]dx\right]$

En el primer sumando los términos de segundo grado se cancelan:

$\int_{0}^{1}6\,dx=\left[6x\right]_{0}^{1}=6$

En el segundo:

$\int_{1}^{2}\left(8-2x^{2}\right)dx=\left[8x-\dfrac{2x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\left(16-\dfrac{16}{3}\right)-\left(8-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{10}{3}$

Sumamos y duplicamos:

$\mathcal{A}=2\left(6+\dfrac{10}{3}\right)=2\cdot\dfrac{28}{3}=\dfrac{56}{3}$

El área del recinto es $\dfrac{56}{3}\approx18{,}67$ unidades de área.