Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Sea la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)e^{-x^{2}}$.

a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1,5 puntos]

b) Halle los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1 punto]

$\textbf{a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de } \boldsymbol{f}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La función es producto de un polinomio por una exponencial, luego es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. La monotonía se decide con el signo de la derivada primera, que obtenemos con la regla del producto.

$f'(x)=e^{-x^{2}}+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)(-2x)e^{-x^{2}}$

$f'(x)=e^{-x^{2}}\left(1-2x^{2}+x\right)=e^{-x^{2}}\left(-2x^{2}+x+1\right)$

Como $e^{-x^{2}}>0$ para todo $x$, el signo de $f'(x)$ es el del trinomio. Anulamos ese factor:

$-2x^{2}+x+1=0\Rightarrow 2x^{2}-x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\dfrac{1\pm3}{4}$

$x_{1}=-\dfrac{1}{2},\qquad x_{2}=1$

El trinomio corresponde a una parábola con las ramas hacia abajo, así que es positivo entre sus raíces y negativo fuera. Lo confirmamos evaluando un punto de cada tramo:

$f'(-1)\sim-2+(-1)+1=-2<0;\quad f'(0)\sim1>0;\quad f'(2)\sim-8+2+1=-5<0$



La función es creciente en $\left(-\dfrac{1}{2},\,1\right)$ y decreciente en $\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(1,+\infty\right)$.

$\textbf{b) Halle los extremos absolutos de } \boldsymbol{f}\textbf{ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1 punto]}$

Del estudio anterior se deduce que en $x=-\frac{1}{2}$ la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo, y en $x=1$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo. Calculamos sus valores.

$f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)e^{-1/4}=-e^{-1/4}\approx-0{,}7788$

$f(1)=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)e^{-1}=\dfrac{1}{2e}\approx0{,}1839$

Como el dominio no es un intervalo cerrado, hay que estudiar el comportamiento en el infinito para saber si esos extremos relativos son además absolutos. La exponencial domina al polinomio:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)e^{-x^{2}}=0;\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)e^{-x^{2}}=0$

En las dos ramas la función se acerca a $0$, valor comprendido entre el mínimo y el máximo relativos, de modo que ninguno de ellos se supera fuera de los tramos ya estudiados.

La función alcanza su mínimo absoluto en $x=-\dfrac{1}{2}$, donde vale $-e^{-1/4}\approx-0{,}7788$, y su máximo absoluto en $x=1$, donde vale $\dfrac{1}{2e}\approx0{,}1839$.