Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por

$f(x) = a + b\cos(x) + c\operatorname{sen}(x).$

Halle $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x = \dfrac{\pi}{2}$ a la recta $y = 1$ como recta tangente, y que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$. [2,5 puntos]

$\textbf{Halle } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = \dfrac{\pi}{2}}\textbf{ a la recta } \boldsymbol{y = 1}\textbf{ como recta tangente, y que la recta } \boldsymbol{y = x - 1}\textbf{ corta a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 0}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Los datos del enunciado se traducen en tres condiciones sobre $f$ y su derivada, que forman un sistema en las tres incógnitas. Que la recta $y=1$ sea tangente en $x=\frac{\pi}{2}$ significa dos cosas: que la gráfica pasa por ese punto y que la pendiente allí es la de la recta, que es nula.

$f(x)=a+b\cos(x)+c\operatorname{sen}(x)\Rightarrow f'(x)=-b\operatorname{sen}(x)+c\cos(x)$

De la condición de contacto en $x=\frac{\pi}{2}$:

$f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=a+b\cdot0+c\cdot1=a+c=1$

De la condición sobre la pendiente en ese mismo punto:

$f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-b\cdot1+c\cdot0=-b=0\Rightarrow b=0$

La tercera condición dice que la gráfica y la recta $y=x-1$ se cortan en $x=0$, es decir, que ambas toman ahí el mismo valor:

$f(0)=a+b\cos(0)+c\operatorname{sen}(0)=a+b$

$a+b=0-1=-1\Rightarrow a=-1$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$-1+c=1\Rightarrow c=2$

Los valores pedidos son $a=-1$, $b=0$ y $c=2$, de modo que la función es $f(x)=-1+2\operatorname{sen}(x)$.