Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

a) Halle el punto simétrico de $P(2, 2, 1)$ respecto de la recta $r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{cases}$ [1,25 puntos]

b) Halle el punto simétrico de $Q(1, -1, -3)$ respecto del plano $\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Halle el punto simétrico de } \boldsymbol{P(2, 2, 1)}\textbf{ respecto de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,25 puntos]}$











El simétrico se obtiene en tres fases: i) se construye el plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$; ii) se corta con $r$ para hallar el pie $M$; iii) se impone que $M$ sea el punto medio de $\overline{PP'}$.

Un vector director de $r$ es el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen:

$\vec v_r=(1,-2,1)\times(0,1,-1)=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1\end{vmatrix}=(1,1,1)$





Tomando $z=0$ en las ecuaciones de $r$ se obtiene $y=1$ y $x=4$, de modo que

$r:\begin{cases}x=4+\lambda\\ y=1+\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

i) El plano $\sigma$ perpendicular a $r$ por $P$ tiene por normal a $\vec v_r$:

$\sigma: x+y+z+D=0;\quad 2+2+1+D=0\Rightarrow D=-5$

$\sigma: x+y+z-5=0$

ii) Cortamos $r$ con $\sigma$ sustituyendo las paramétricas:

$(4+\lambda)+(1+\lambda)+\lambda-5=0\Rightarrow 3\lambda=0\Rightarrow \lambda=0$

$M(4,1,0)$

iii) Imponemos que $M$ sea el punto medio de $\overline{PP'}$:

$P'=2M-P=(8-2,\;2-2,\;0-1)$

El simétrico de $P$ respecto de la recta $r$ es el punto $P'(6,0,-1)$.

$\textbf{b) Halle el punto simétrico de } \boldsymbol{Q(1, -1, -3)}\textbf{ respecto del plano } \boldsymbol{\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0}\textbf{. [1,25 puntos]}$











Se procede igual, pero ahora la recta auxiliar es la perpendicular al plano por $Q$, cuyo vector director es el normal de $\pi$.

$\vec n_{\pi}=(1,-2,1)$

$s:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=-1-2\lambda\\ z=-3+\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$





Cortamos $s$ con $\pi$:

$(1+\lambda)-2(-1-2\lambda)+(-3+\lambda)+6=0$

$6\lambda+6=0\Rightarrow \lambda=-1$

$M(0,1,-4)$

Imponemos que $M$ sea el punto medio de $\overline{QQ'}$:

$Q'=2M-Q=(0-1,\;2+1,\;-8+3)$

Comprobamos que $M$ pertenece efectivamente al plano: $0-2\cdot1+(-4)+6=0$.

El simétrico de $Q$ respecto del plano $\pi$ es el punto $Q'(-1,3,-5)$.