Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Halle la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f''(x) = x\cos(x)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi, 2\pi)$. [2,5 puntos]

$\textbf{Halle la función } \boldsymbol{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f''(x) = x\cos(x)}\textbf{ y cuya gráfica pasa por los puntos } \boldsymbol{\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)}\textbf{ y } \boldsymbol{(\pi, 2\pi)}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Integrando dos veces la derivada segunda se recupera la función, y en cada integración aparece una constante. Las dos condiciones del enunciado son las que determinan esas dos constantes.

Calculamos $f'(x)$ integrando por partes, con $u=x$ y $dv=\cos(x)\,dx$:

$\displaystyle\int x\cos(x)\,dx=x\operatorname{sen}(x)-\int\operatorname{sen}(x)\,dx=x\operatorname{sen}(x)+\cos(x)$

$f'(x)=x\operatorname{sen}(x)+\cos(x)+C$

Integramos otra vez, de nuevo por partes en el primer sumando, con $u=x$ y $dv=\operatorname{sen}(x)\,dx$:

$\displaystyle\int x\operatorname{sen}(x)\,dx=-x\cos(x)+\int\cos(x)\,dx=-x\cos(x)+\operatorname{sen}(x)$

$f(x)=-x\cos(x)+\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(x)+Cx+D=-x\cos(x)+2\operatorname{sen}(x)+Cx+D$

Imponemos que la gráfica pase por $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$:

$f(0)=0+0+0+D=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow D=\dfrac{\pi}{2}$

Imponemos ahora que pase por $(\pi,2\pi)$:

$f(\pi)=-\pi\cos(\pi)+2\operatorname{sen}(\pi)+C\pi+\dfrac{\pi}{2}=\pi+C\pi+\dfrac{\pi}{2}$

$\pi+C\pi+\dfrac{\pi}{2}=2\pi\Rightarrow C\pi=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}$

La función buscada es $f(x)=-x\cos(x)+2\operatorname{sen}(x)+\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{2}$.