Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Sea la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln(x)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $A(1, 0)$ y $B(e, 1)$.

a) Determine, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [1,5 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine, si existen, los puntos de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Calculamos primero la pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$ y después imponemos que la derivada, que es la pendiente de la tangente, tome ese valor.

$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-0}{e-1}=\dfrac{1}{e-1}$

$f(x)=\ln(x)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{x}$

$f'(a)=m\Rightarrow \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{e-1}\Rightarrow a=e-1$

El valor obtenido pertenece al dominio $(0,+\infty)$, pues $e-1\approx1{,}718>0$. Calculamos la ordenada del punto:

$f(e-1)=\ln(e-1)\approx 0{,}5413$

Existe un único punto de la gráfica de $f$ en el que la tangente es paralela a la recta $AB$, y es el punto $\left(e-1,\;\ln(e-1)\right)$.

$\textbf{b) Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

La recta normal en un punto es la perpendicular a la tangente en ese punto, de modo que su pendiente es la opuesta de la inversa de $f'(1)$.

$f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$

$m_n=-\dfrac{1}{f'(1)}=-1$

Escribimos la ecuación punto-pendiente en $A(1,0)$:

$y-0=-1\,(x-1)$

La recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$ es $y=-x+1$.