Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite orbita alrededor de Marte describiendo una circunferencia de radio $9{,}4 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ y tarda 7,7 h en dar una vuelta completa. Determine la masa de Marte. [2 puntos]

Datos: constante de gravitación universal $(G) = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria que le hace Marte, y como su movimiento es circular uniforme, esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$

Y en un movimiento circular uniforme la velocidad se relaciona con el periodo:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$





Se sustituye la velocidad y se simplifica la masa del satélite, que no interviene:

$G\dfrac{M}{r^2}=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$

De donde se despeja la masa de Marte:

$M=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$

Se expresa el periodo en unidades del Sistema Internacional:

$T=7{,}7\ \text{h}\cdot\dfrac{3600\ \text{s}}{1\ \text{h}}=27720\ \text{s}$

Y se sustituye:

$M=\dfrac{4\pi^2\cdot(9{,}4\cdot10^{6})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot27720^2}=\dfrac{3{,}279\cdot10^{22}}{5{,}125\cdot10^{-2}}$

$M=6{,}40\cdot10^{23}\ \text{kg}$

La masa de Marte es $6{,}40\cdot10^{23}\ \text{kg}$, aproximadamente la décima parte de la masa de la Tierra, lo que coincide con el valor aceptado para el planeta.