Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Deduce la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo que está a una altura $h$ por encima de la superficie terrestre, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica. [2 puntos]

La velocidad de escape es la mínima velocidad que hay que comunicar a un cuerpo para que se aleje indefinidamente del planeta, es decir, para que llegue al infinito con velocidad nula.

El cuerpo parte de una altura $h$ sobre la superficie, así que su distancia al centro de la Tierra es:

$r=R_T+h$





La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la gravitatoria, que es conservativa, de modo que su energía mecánica se conserva entre la posición de partida y el infinito:

$E_c(r)+E_p(r)=E_c(\infty)+E_p(\infty)$

Se escribe cada término. En la posición de partida:

$E_c(r)=\dfrac12\,m\,v_e^2\qquad E_p(r)=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T+h}$

Y en el infinito, por la propia definición de velocidad de escape y por el origen de energías potenciales tomado allí:

$E_c(\infty)=0\qquad E_p(\infty)=0$

Sustituyendo en la conservación de la energía mecánica:

$\dfrac12\,m\,v_e^2-G\dfrac{M_T\,m}{R_T+h}=0$

Se simplifica la masa del cuerpo, que no interviene en el resultado:

$\dfrac12\,v_e^2=\dfrac{G\,M_T}{R_T+h}$

Y se despeja la velocidad de escape:

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{R_T+h}}$

Esa es la expresión pedida. De ella se leen dos consecuencias importantes:

La velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo que se lanza: es la misma para una canica que para una nave.

Disminuye al aumentar la altura de lanzamiento, porque el cuerpo parte ya menos ligado al planeta.

Como caso particular, desde la propia superficie, con $h=0$, queda:

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{R_T}}=\sqrt{2\,g_0\,R_T}=11{,}2\ \text{km/s}$

que es la velocidad de escape terrestre.