Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2020

Una bobina compuesta por 200 espiras circulares de 20 cm de diámetro gira con una frecuencia de 50 Hz en un campo magnético uniforme de 0,2 T. Determine:

a) La expresión del flujo magnético que atraviesa dicha bobina, en función del tiempo. [1 punto]

b) La fuerza electromotriz inducida máxima. [1 punto]

$\textbf{a) La expresión del flujo magnético que atraviesa dicha bobina, en función del tiempo. [1 punto]}$










El flujo magnético a través de una bobina de $N$ espiras planas de área $S$ situadas en un campo uniforme es:

$\Phi=N\,\vec B\cdot\vec S=N\,B\,S\cos\varphi$

siendo $\varphi$ el ángulo entre el campo y la normal a las espiras. Al girar la bobina con velocidad angular constante ese ángulo cambia con el tiempo:

$\varphi=\omega\,t$





Se calcula el área de una espira a partir de su diámetro, expresado en unidades del Sistema Internacional:

$d=20\ \text{cm}=0{,}2\ \text{m}\Rightarrow R=0{,}1\ \text{m}$

$S=\pi R^2=\pi\cdot0{,}1^2=3{,}14\cdot10^{-2}\ \text{m}^2$

Y la velocidad angular a partir de la frecuencia de giro:

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot50=100\pi=314\ \text{rad/s}$

El flujo máximo, el que atraviesa la bobina cuando el campo es perpendicular a su plano, vale:

$\Phi_0=N\,B\,S=200\cdot0{,}2\cdot3{,}14\cdot10^{-2}=1{,}26\ \text{Wb}$

Con lo que la expresión del flujo en función del tiempo es:

$\Phi(t)=1{,}26\cos(100\pi t)\ \text{Wb}$

Se ha tomado nula la fase inicial, es decir, se cuenta el tiempo desde el instante en que el campo es perpendicular al plano de las espiras y el flujo es máximo.

$\textbf{b) La fuerza electromotriz inducida máxima. [1 punto]}$

Por la ley de inducción de Faraday, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo cambiada de signo:

$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-\dfrac{d}{dt}\left[1{,}26\cos(100\pi t)\right]$

$\varepsilon=1{,}26\cdot100\pi\sin(100\pi t)$

$\varepsilon(t)=395\sin(100\pi t)\ \text{V}$

La fuerza electromotriz es máxima cuando el seno vale la unidad:

$\varepsilon_{\max}=N\,B\,S\,\omega=1{,}26\cdot314$

$\varepsilon_{\max}=395\ \text{V}$

La fuerza electromotriz inducida máxima es de $395\ \text{V}$. Es el principio del alternador: una bobina girando en un campo magnético uniforme produce una fuerza electromotriz alterna de la misma frecuencia que el giro, en este caso los 50 Hz de la red eléctrica.