Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite describe una órbita circular de $2{,}2 \cdot 10^{5}\ \text{km}$ de radio alrededor de un planeta, siendo su periodo de revolución 48 días. Cuál es la masa del planeta. [2 puntos]

Datos: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y como el movimiento es circular uniforme esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$

Y la velocidad de un movimiento circular uniforme se relaciona con el periodo de revolución:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$





Sustituyendo y simplificando la masa del satélite, que no interviene en el resultado:

$G\dfrac{M}{r^2}=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$

De donde se despeja la masa del planeta, que es lo que pide el enunciado:

$M=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$

Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r=2{,}2\cdot10^{5}\ \text{km}=2{,}2\cdot10^{8}\ \text{m}$

$T=48\ \text{días}\cdot\dfrac{86400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=4{,}147\cdot10^{6}\ \text{s}$

Y se sustituye:

$M=\dfrac{4\pi^2\cdot(2{,}2\cdot10^{8})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot(4{,}147\cdot10^{6})^2}=\dfrac{4{,}204\cdot10^{26}}{1147}$

$M=3{,}66\cdot10^{23}\ \text{kg}$

La masa del planeta es $3{,}66\cdot10^{23}\ \text{kg}$, del orden de la de Marte y unas dieciséis veces menor que la de la Tierra.