Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Determine a qué altura sobre la superficie de la Tierra debe encontrarse un cuerpo para perder el 10 % de su peso. [2 puntos]

Datos: radio de la Tierra = 6370 km.

El peso de un cuerpo es el producto de su masa por la intensidad del campo gravitatorio en el punto donde se encuentra:

$P=m\,g=m\,G\dfrac{M}{r^2}$

Como la masa del cuerpo no cambia al subir, el peso es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra.





Perder el 10 % del peso significa que el peso a la altura buscada es el 90 % del que tiene en la superficie:

$P=0{,}9\,P_0$

Se escribe el cociente de los dos pesos, en el que se simplifican la masa, la constante de gravitación y la masa de la Tierra:

$\dfrac{P}{P_0}=\dfrac{R^2}{(R+h)^2}=0{,}9$

Se despeja tomando la raíz cuadrada, y se conserva solo la solución positiva porque una distancia no puede ser negativa:

$\dfrac{R}{R+h}=\sqrt{0{,}9}=0{,}9487$

$R+h=\dfrac{R}{0{,}9487}=1{,}0541\,R$

$h=R\,(1{,}0541-1)=0{,}0541\,R$

Se sustituye el radio de la Tierra:

$h=0{,}0541\cdot6370=345\ \text{km}$

El cuerpo debe encontrarse a $345\ \text{km}$ de altura sobre la superficie terrestre, es decir, $3{,}45\cdot10^{5}\ \text{m}$.

Conviene notar que no ha hecho falta ni la masa del cuerpo ni la de la Tierra: al trabajar con el cociente de los pesos, todas las constantes desaparecen. Y merece la pena advertir que esa altura es del orden de la de la Estación Espacial Internacional, donde el peso sigue siendo el 90 % del que se tendría en el suelo: la ingravidez que se observa allí no se debe a la falta de gravedad, sino a que la estación está en caída libre permanente.