Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2020

Hipótesis de De Broglie. Dualidad onda-corpúsculo. [2 puntos]

La hipótesis de De Broglie, formulada en 1924, extiende a la materia el comportamiento dual que ya se había reconocido en la radiación electromagnética: toda partícula material en movimiento lleva asociada una onda, llamada onda de materia, cuya longitud de onda es inversamente proporcional a su momento lineal.

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}$

siendo $h$ la constante de Planck, $6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m$ la masa de la partícula en kilogramos y $v$ su velocidad en metros por segundo. La longitud de onda resulta en metros.

El razonamiento que llevó a De Broglie a proponerla fue de simetría. Para el fotón se cumplen a la vez la relación de Planck y la equivalencia de Einstein:

$E=h\,f\qquad E=p\,c$

De donde, igualando y usando $c=\lambda f$:

$h\dfrac{c}{\lambda}=p\,c\Rightarrow \lambda=\dfrac{h}{p}$

De Broglie postuló que esta relación, obtenida para la luz, debía valer también para las partículas con masa.

La dualidad onda-corpúsculo es precisamente esa doble naturaleza: la luz y la materia no son ni ondas ni corpúsculos, sino entes que se comportan de una u otra manera según el experimento con que se los interrogue.

La luz se comporta como onda en los fenómenos de interferencia, difracción y polarización, y como corpúsculo en el efecto fotoeléctrico y en el efecto Compton.

La materia se comporta como corpúsculo en su movimiento ordinario, y como onda en la difracción de electrones a través de un cristal, que es el experimento con que Davisson y Germer confirmaron la hipótesis en 1927.

La razón de que el carácter ondulatorio de la materia pase inadvertido en la vida cotidiana está en el tamaño de la constante de Planck. Para un cuerpo macroscópico, con una masa del orden del kilogramo y una velocidad de unos metros por segundo, la longitud de onda resulta del orden de $10^{-34}\ \text{m}$, veinte órdenes de magnitud por debajo del tamaño de un núcleo atómico, y ningún experimento puede ponerla de manifiesto. Solo en partículas de masa muy pequeña, como el electrón, la longitud de onda alcanza valores comparables a las distancias interatómicas y los efectos ondulatorios se hacen observables.

Esta hipótesis es el punto de partida de la mecánica cuántica ondulatoria, y explica de paso la condición de cuantización de las órbitas del modelo de Bohr: solo son estables aquellas en las que cabe un número entero de longitudes de onda del electrón.