Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

Un protón es acelerado en un campo eléctrico consiguiendo una velocidad final de $3 \cdot 10^{3}\ \text{km/h}$. Calcule:

a) el momento lineal. [1 punto]

b) la longitud de onda de materia asociada. [1 punto]

Datos: Constante de Planck $(h) = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$. Masa del protón $= 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) el momento lineal. [1 punto]}$

El momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula es el producto de su masa por su velocidad:

$p=m\,v$

Antes de sustituir se expresa la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$v=3\cdot10^{3}\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\dfrac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}\cdot\dfrac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}}=833{,}3\ \text{m/s}$

Y ahora:

$p=1{,}67\cdot10^{-27}\cdot833{,}3$

$p=1{,}39\cdot10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$

El momento lineal del protón es $1{,}39\cdot10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$.

Como la velocidad es del orden de $10^{3}\ \text{m/s}$, muy inferior a la de la luz, no hace falta ninguna corrección relativista y basta la expresión clásica del momento lineal.

$\textbf{b) la longitud de onda de materia asociada. [1 punto]}$

Según la hipótesis de De Broglie, toda partícula material lleva asociada una onda cuya longitud de onda es:

$\lambda=\dfrac{h}{p}$

$\lambda=\dfrac{6{,}6\cdot10^{-34}}{1{,}39\cdot10^{-24}}$

$\lambda=4{,}74\cdot10^{-10}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada al protón es $4{,}74\cdot10^{-10}\ \text{m}$, es decir, unos $0{,}5\ \text{nm}$.

A diferencia de lo que ocurre con los objetos macroscópicos, aquí el resultado sí es observable: es del orden de la distancia entre los átomos de un cristal, unos $10^{-10}\ \text{m}$, de modo que un haz de protones de esta velocidad produciría difracción al atravesarlo. Es exactamente el experimento con el que se comprobó el carácter ondulatorio de la materia.