Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2021

Una muestra de U-235, que se utiliza como combustible en centrales nucleares, y cuyo período de semidesintegración es de $7{,}038 \cdot 10^{8}$ años tiene una actividad inicial de 50 kBq. Determina:

a) La constante de desintegración radiactiva. [1 punto]

b) La actividad de la muestra al cabo de 100 millones de años. [1 punto]

$\textbf{a) La constante de desintegración radiactiva. [1 punto]}$










El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos, y está ligado a la constante de desintegración por:

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$





Se despeja la constante y se sustituye:

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{7{,}038\cdot10^{8}}=9{,}85\cdot10^{-10}\ \text{años}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda=\dfrac{9{,}85\cdot10^{-10}}{365\cdot24\cdot3600}=3{,}12\cdot10^{-17}\ \text{s}^{-1}$

La constante de desintegración del uranio-235 vale $3{,}12\cdot10^{-17}\ \text{s}^{-1}$, un valor extraordinariamente pequeño que refleja lo lentamente que se desintegra este isótopo.

$\textbf{b) La actividad de la muestra al cabo de 100 millones de años. [1 punto]}$

La actividad sigue la ley exponencial de desintegración:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Se trabaja con la constante en $\text{años}^{-1}$, para que sea coherente con el tiempo dado:

$t=100\ \text{millones de años}=10^{8}\ \text{años}$

$A=50\cdot e^{-9{,}85\cdot10^{-10}\cdot10^{8}}=50\cdot e^{-0{,}0985}$

$A=50\cdot0{,}906=45{,}3\ \text{kBq}$

Al cabo de cien millones de años la actividad de la muestra sigue siendo de $45{,}3\ \text{kBq}$, es decir, $4{,}53\cdot10^{4}\ \text{Bq}$.

El resultado se entiende comparando los dos tiempos: cien millones de años son solo la séptima parte del periodo de semidesintegración del uranio-235, de modo que la muestra apenas ha perdido un 9 % de su actividad. Es esa lentitud la que explica que todavía quede uranio-235 natural en la corteza terrestre, formado hace miles de millones de años.