Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

Calcule la masa de un cohete que se mueve a una velocidad de 2000 km/h si la longitud de la onda de materia asociada es $4{,}2 \cdot 10^{-40}\ \text{m}$. [2 puntos]

Datos: Constante de Planck $(h) = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$.

Toda partícula material lleva asociada una onda cuya longitud de onda, según la hipótesis de De Broglie, es inversamente proporcional a su momento lineal:

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}$

Se despeja la masa, que es lo que pide el enunciado:

$m=\dfrac{h}{\lambda\,v}$

Antes de sustituir se expresa la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$v=2000\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\dfrac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}\cdot\dfrac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}}=555{,}6\ \text{m/s}$

Y ahora:

$m=\dfrac{6{,}6\cdot10^{-34}}{4{,}2\cdot10^{-40}\cdot555{,}6}=\dfrac{6{,}6\cdot10^{-34}}{2{,}333\cdot10^{-37}}$

$m=2{,}83\cdot10^{3}\ \text{kg}$

La masa del cohete es $2{,}83\cdot10^{3}\ \text{kg}$, es decir, unas 2,8 toneladas.

El resultado es coherente con lo que cabe esperar de la hipótesis de De Broglie: a un objeto de masa macroscópica le corresponde una longitud de onda absurdamente pequeña, en este caso $4{,}2\cdot10^{-40}\ \text{m}$, veinticinco órdenes de magnitud por debajo del tamaño de un núcleo atómico. Por eso el comportamiento ondulatorio de un cohete es del todo inobservable.