Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un satélite orbita alrededor de un planeta describiendo una circunferencia de radio $5{,}6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ y tarda 12 h en dar una vuelta completa. Determine la masa del planeta. [2 puntos]

Datos: constante de gravitación universal $(G) = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria que le hace el planeta, y como su movimiento es circular uniforme, esa fuerza es precisamente la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$

Y en un movimiento circular uniforme la velocidad se relaciona con el periodo:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$





Se sustituye la velocidad en la ecuación anterior y se simplifica la masa del satélite, que no interviene en el resultado:

$G\dfrac{M}{r^2}=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$

De donde se despeja la masa del planeta:

$M=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$

Se expresa el periodo en unidades del Sistema Internacional:

$T=12\ \text{h}=12\cdot3600=43200\ \text{s}$

Y se sustituye:

$M=\dfrac{4\pi^2\cdot(5{,}6\cdot10^{7})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot43200^2}=\dfrac{6{,}93\cdot10^{24}}{0{,}1245}$

$M=5{,}57\cdot10^{25}\ \text{kg}$

La masa del planeta es $5{,}57\cdot10^{25}\ \text{kg}$, unas diez veces la de la Tierra: se trata de un planeta gigante.